Мультипликативные и аддитивные формы. Суперпозиция функций.
Мультипликативная функция ― арифметическая функция одного аргумента f(m), удовлетворяющая условию
f(mn) = f(m)f(n) для любой пары взаимно простых чисел m и n. Обычно предполагается, что f не равна тождественно нулю (что равносильно условию f(1) = 1).
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ называется сильно мультипликативной, если f(p^α) = f(p) для всех простых p и всех натуральных α. Если условие мультипликативности выполняется для произвольных двух чисел m и n не обязательно взаимно простых, то f называется вполне мультипликативной; в этом случае f(p^α) = f(p)^α
Примеры
Функция τ(m) ― число натуральных делителей натурального m.
Функция a(m) ― сумма натуральных делителей натурального m.
Функция Эйлера φ(m).
Функция Мёбиуса μ(m).
Функция является сильно мультипликативной.
Степенная функция f(m) = m^α является вполне мультипликативной.
АДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.
Суперпозиция функций.
Суперпозицией булевых функций f0 и f1,...,fn называется функция f(x1,...,xm) = f0(g1(x1,...,xm),...,gk(x1,...,xm)), где каждая из функций gi(x1, ...,xm) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f1,...,fn.